Родился 25 декабря 1921 г. в городе Облучье Еврейской автономной области. В 1938 г. окончил среднюю школу.
В 1939 году призван в ряды Красной Армии. Направлен в Омское пехотное училище. Член КПСС с 1940 года.
С началом войны Ю. Тварковский в числе других выпускников пехотного училища был отправлен сначала в Приморский край, где в городе Артеме несколько месяцев пробыл в резерве. В начале декабря 1941 г. отправлен эшелоном на фронт, был назначен командиром взвода стрелкового полка Западного фронта. Первый бой принял под Ржевом уже в декабре 1941 г., был ранен. Взвод под командованием Тварковского удерживал оборонительные позиции, не давая противнику прорваться в сторону Москвы. За образцовое выполнение боевой задачи был награждён медалью «За отвагу».
Потом воевал на Центральном фронте, участвовал в боях на Курской дуге в звании старшего лейтенанта и должности командира роты. Был ещё раз ранен. За боевые заслуги и высокие командирские качества награждён орденом Александра Невского, затем орденом Красного Знамени.
Старший лейтенант Ю.В. Тварковский отличился в боях 23-26 сентября 1943 года в районе станции Верхлиевка Чернобыльского района Киевской области. Его батальон углубился на 10 километров в оборону противника и устроил засаду, уничтожив до батальона гитлеровцев, затем форсировал Днепр южнее села Комарин Брагинского района Гомельской области и захватил плацдарм.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 октября 1943 года за мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра гвардии старшему лейтенанту Юрию Владимировичу Тварковскому присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".
7 декабря 1943 г. в бою за освобождение села Аннополь (по другим данным – села Нераж) Житомирской области Юрий Тварковский погиб, сражённый осколком мины.
Именем Героя в городе Облучье названа одна из улиц, а также школа №3, в которой он учился, на здании школы установлена мемориальная доска, а школьный музей посвятил Юрию Тварковскому небольшую экспозицию.
Именем Тварковского названа одна из улиц Омска, его имя носит школа №142. В советское время памятник Герою стоял на его могиле в селе Аннополе Житомирской области Украины, за которое он отдал свою жизнь, но на данный момент судьба памятника неизвестна.
Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, Александра Невского, медалями.