Родился 12 ноября 1920 года в городке Улала (Горно-Алтайск) в семье крестьянина. Окончил 5 классов.
В 1937 году семья Стяжкиных переехала в Биробиджан. Работал на мясокомбинате и в конторе «Заготзерно».
В 1940 году Стяжкин был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. Член КПСС с 1942 года.
На фронте в Великой Отечественной войне с марта 1942.
Командир орудия 57-го артиллерийского полка (95-я стрелковая дивизия, 49-я армия, 2-й Белорусский фронт) сержант Стяжкин в бою за деревню Княжицы (Могилевский р-н Могилевской обл.)
В 1943 году за мужество, проявленное в одной из фронтовых операций, был награждён медалью «За боевые заслуги». Особо отличился Михаил Михайлович 28 июня 1944 года у белорусского селения Княжницы. Здесь создалось трудное положение для наших наступающих войск. Фашисты неожиданно пошли вперёд. Тогда Стяжкин выкатил своё орудие на прямую наводку и в упор стал расстреливать живую силу и технику противника. Несмотря на сильный встречный минометно-артиллерийский и пулемётный огонь, успешно маневрируя и меняя позицию после каждого выстрела, он вёл прицельный, смертоносный огонь по контратакующему противнику. В неравном бою, благодаря своей смелости и храбрости, отважный сержант-артиллерист вышел победителем. Он уничтожил тринадцать автомашин, три 105-миллиметровых и два самоходных орудия, до полутораста солдат и офицеров. Среди убитых оказался немецкий генерал, а в охваченных паникой боевых порядках гитлеровцев удалось захватить боевое знамя вражеской дивизии. Контратака противника была отбита, наша пехота, получив своевременную огневую поддержку, получила тактический успех и перерезала стратегически важное шоссе Могилев-Минск.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 августа 1944 года Михаилу Михайловичу Стяжкину было присвоено звание Героя Советского Союза. Однако ему, к сожалению, так и не удалось вернуться домой, в Биробиджан со звездой на груди. Умер от ран 24 декабря 1944 года. Похоронен в городе Бресте на городском кладбище.
Один из микрорайонов г. Биробиджана, выросший как раз на том месте, где жила его семья, теперь носит славное имя героя-земляка. 19 августа 1992 года в районе мясокомбината, на котором работал будущий “Почетный гражданин города Биробиджана”, открыта мемориальная доска Героя Советского Союза М. М. Стяжкина. Улица в Горно-Алтайске носит имя Героя.
