Родился 3 июля 1923 года в селе Орловка Константиновского района Амурской области в семье крестьянина. В 1930 году вместе с родителями переехал в Хабаровск. Окончил 7 классов и фабрично-заводское училище. Работал слесарем, затем токарем на Хабаровском заводе «Дальдизель». Семья (отец и две сестры) в это время проживали в пос. Николаевка Смидовичского района Еврейской автономной области.
В Красной Армии с марта 1942 года. Окончил Хабаровское пулемётно-миномётное училище в 1943 году. В действующей армии с августа 1943 года.
Командир пулемётного взвода мотострелкового батальона 53-й гвардейской танковой бригады (Воронежский фронт) гвардии младший лейтенант Шелест в первом эшелоне бригады со взводом 23 сентября 1943 года форсировал Днепр в районе села Григоровка (Украина). В этом бою он уничтожил более 30 гитлеровцев, но и сам погиб от осколка мины.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 июня 1944 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, гвардии младшему лейтенанту Шелесту Василию Галактионовичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденами Ленина, Отечественной войны 1-й степени, медалью.
Похоронен в братской могиле в селе Григоровка.
Именем Героя названы Хабаровское профессионально-техническое училище № 4, улица в Хабаровске. В инструментальном цехе «Дальдизель» установлена мемориальная доска.
