Родился 5 (18) ноября 1913 года в селе Виткулово Нижегородской области в семье рабочего. Детство и юность провёл на разъезде Венец в Ардатовском районе.
В 1931 году окончил Арзамасское строительное училище, работал учеником слесаря на лесопильном заводе, затем помощником машиниста на станции Луга (Ленинградская область). В 1935 году был призван в Красную Армию. Службу проходил в кавалерийских частях на Дальнем Востоке.
В ЕАО приехал в 1937 году, когда решил остаться на Дальнем Востоке после срочной службы в армии. Работал председателем сельского Совета в Облученском районе. В 1939 году призывался на военные сборы, после которых ему было присвоено звание младшего политрука запаса.
В 1941 году вновь призван в армию, вновь служил на Дальнем Востоке. Член ВКП(б)/КПСС с 1941 года. В 1944 году окончил Саратовское танковое училище. На фронте с августа 1944 года, был механиком-водителем самоходной артиллерийской установки ИСУ-152. Особенно отличился он в операции по уничтожению окружённой вражеской группировки в районе немецкого города Глогау (Глогув, Польша) с 16 по 19 марта 1945 года.
16 марта экипаж вёл огонь с закрытых позиций, и работы у механика-водителя было немного. На другой день самоходчики действовали уже с прямой наводки, и точность огня зависела от чёткой работы Попкова. Было уничтожено несколько огневых точек. 19 марта гвардии лейтенант Попков вместе с экипажем, умело маневрируя под огнём минометов и фаустпатронов, по улицам города прорвался к Одеру. Выйдя к реке, самоходчики обстреляли из орудия мост, по которому немцы подвозили боеприпасы, разрушили его. Когда боевая машина подорвалась на мине, Попков, будучи раненым и оставшись один, смог отбиться от немецких автоматчиков, в рукопашной схватке уничтожил несколько гитлеровцев и прорвался к своим. Всего за 4 дня боёв вместе с экипажем разрушил 19 больших зданий, оборудованных под опорные пункты, подавил 33 пулемётные точки врага, уничтожил до 300 гитлеровцев.
Во время наступления экипаж Попкова подорвался на противотанковой мине. Члены экипажа погибли, а командир был тяжело ранен. Тяжело раненный, он спрятался в паровозной топке, а с наступлением темноты стал прорывать к своим, вступая по пути в схватки с фашистами. Его подобрали советские пехотинцы и передали в госпиталь, где отважный лейтенант и встретил День Победы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии лейтенанту Попкову Александру Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 9029).
После войны уволен в запас. Вернулся на родину. До выхода на пенсию работал на Кулебакинском металлургическом заводе. Жил в городе Навашино Горьковской (ныне Нижегородской) области. 13 октября 1995 года Александр Иванович скончался. Похоронен на Липенском кладбище города Навашино.
