Родился 12 ноября 1912 года в селе Волчно-Бурлинское (Крутихинский район Алтайского края). Получил начальное образование, после чего работал подручным у сельского плотника.
В 1933—1936 годах он проходил службу в Рабоче-крестьянской Красной Армии.
В 1939 году Кагыкин переехал в село Ленинское Еврейской автономной области.
Первоначально служил в погранвойсках, но летом 1942 года добровольно вызвался отправиться на фронт. С октября 1942 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в битве на Курской дуге, Орловской операции, битве за Днепр, освобождении Белорусской ССР, Польши, боях в Германии. В боях два раза был ранен. К апрелю 1945 года сержант Пётр Кагыкин был заместителем командира орудия 1955-го истребительно-противотанкового полка 40-й отдельной истребительно-противотанковой бригады 3-й ударной армии 1-го Белорусского фронта. Отличился во время штурма Берлина.
28 апреля 1945 года, находясь в составе штурмовой группы, Кагыкин одним из первых переправился через Шпрее. Во время боёв на берлинских улицах он уничтожил более 10 немецких солдат и офицеров. 30 апреля 1945 года он вместе с группой бойцов водрузил красный флаг над рейхстагом.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецкими захватчиками» сержант Пётр Кагыкин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за №8966.
В декабре 1945 года Кагыкин был демобилизован, после чего вернулся в Ленинское. Позднее переехал в Москву, где скоропостижно скончался 25 декабря 1951 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище Москвы.
Был также награждён орденами Красной Звезды и Славы 3-й степени, рядом медалей.
В селе Ленинское Герою установлена мемориальная доска, его именем названа улица в этом селе. В 1975 году имя Героя присвоено пограничной заставе Биробиджанского пограничного отряда Дальневосточного пограничного округа.
