Родился 17 (30) августа 1917 года в деревне Метельки Кировской области в семье крестьянина. Образование начальное. Работал строгальщиком железнодорожного депо станции Ин Смидовичского района Хабаровского края.
В Красной Армии и на фронте с 1942 года. Будучи снайпером принимал участие в боях на Юго-Западном фронте. В марте 1943 года был тяжело ранен. После выздоровления направлен в 275-й гвардейский истребительно-противотанковый артиллерийский полк. Наводчик орудия 275-го гвардейского истребительно-противотанкового артиллерийского полка (4-я отдельная гвардейская истребительно-противотанковая артиллерийская бригада, 5-я ударная армия, 1-й Белорусский фронт) гвардии сержант Гагаринов 18 июня 1944 года проявил храбрость и умение при прорыве укреплённой полосы противника в районе населённого пункта Тарговище (Турийский район Волынской области). Огнём орудия он уничтожил тягач, противотанковое орудие и склад боеприпасов.
30 июля 1944 года за мужество, проявленное в боях с врагом, гвардии сержант Гагаринов награждён орденом Славы 3-й степени (№ 90221). Член ВКП(б)/КПСС с 1944 года.
Расчёт орудия во главе с Гагариновым 27 марта 1945 года переправился на левый берег реки Одер (9 километров северо-западнее города Кюстрин, ныне Костшин, Польша) и участвовал в боях по удержанию плацдарма. При отражении шести контратак противника вывел из строя два танка, подавил две пулемётные точки, уничтожил свыше двадцати солдат и офицеров противника. Вынес с поля боя раненого командира.
Приказом по 5-й ударной армии от 7 мая 1945 г. гвардии сержант Гагаринов награждён орденом Славы 2-й степени.
23 апреля 1945 года гвардии сержант Гагаринов с расчётом одним из первых преодолел реку Шпрее и огнём орудия уничтожил две огневые точки, подавил огонь зенитного орудия.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, гвардии сержант Гагаринов Александр Михайлович награждён орденом Славы 1-й степени (№ 1440).
В 1946 году старшина Гагаринов демобилизован. Работал строгальщиком в железнодорожном депо станции Ин. Умер 23 июня 1984 года. Награждён орденом Трудового Красного Знамени, двумя орденами Красной Звезды, орденами Славы 1-й, 2-й и 3-й степени, медалями. На доме, где он жил, установлена мемориальная доска. Имя А. М. Гагаринова увековечено на здании железнодорожного вокзала в посёлке Смидович.
